Partie 1: Bases Mathématiques Fondamentales

Les mathématiques sont un pilier essentiel de nombreux domaines scientifiques et technologiques, notamment l'intelligence artificielle, la physique, l'économie et l'ingénierie. J'ai pu remarquer au cours de mon début de carriere que la maîtrise des mathématiques est essentielle pour comprendre et utiliser efficacement les algorithmes d'IA, cependant trop peu de personnes connaissent ces bases. Ce document présente donc les bases mathématiques fondamentales, rien de trop compliqué. N'hésitez pas à les revoir si vous avez besoin de rafraîchir vos connaissances ou à approfondir certains concepts.

1. Algèbre Linéaire

L'algèbre linéaire est l'étude des vecteurs, des matrices et des espaces vectoriels.

1.1 Vecteurs

Un vecteur est une liste ordonnée de nombres représentant des grandeurs scalaires dans un espace multidimensionnel. Il est utilisé pour modéliser des quantités physiques et abstraites.

Un vecteur \(\mathbf{v}\) en dimension \(n\) s'écrit :

\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \]

1.2 Matrices

Une matrice est un tableau de nombres organisés en lignes et colonnes. Elle est employée pour représenter des systèmes d'équations linéaires, des transformations et des relations entre variables.

Une matrice \(A\) de taille \(m \times n\) est définie comme :

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

1.3 Opérations sur les matrices

L'addition de deux matrices \(A\) et \(B\) est définie par :

\[ (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} \]

Le produit matriciel \(C = A \cdot B\) est défini par :

\[ C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj} \]

2. Calcul Différentiel

Le calcul différentiel concerne l'étude des taux de variation des fonctions.

2.1 Dérivée

La dérivée d'une fonction \(f(x)\) est définie comme la limite :

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

2.2 Gradient

Le gradient d'une fonction \(f(x, y)\) est le vecteur des dérivées partielles :

\[ \nabla f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} \]

3. Probabilités et Statistiques

Ces disciplines sont essentielles pour modéliser l'incertitude et analyser des ensembles de données.

3.1 Loi des Probabilités

Une loi de probabilité définit la répartition des événements aléatoires et leur probabilité d'occurrence.

La probabilité d'un événement \(A\) est définie par :

\[ P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre total de cas possibles}} \]

3.2 Espérance et Variance

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire \(X\) est donnée par :

\[ E[X] = \sum_{i} x_i P(x_i) \]

La variance est définie comme :

\[ Var(X) = E[(X - E[X])^2] \]

4. Optimisation et Descente de Gradient

L'optimisation vise à trouver les valeurs des paramètres qui minimisent ou maximisent une fonction objective.

4.1 Fonction de Coût

Une fonction de coût \(J(\theta)\) mesure l'erreur entre les prédictions d'un modèle et les valeurs réelles.

4.2 Algorithme de Descente de Gradient

La descente de gradient met à jour les paramètres \(\theta\) selon la règle :

\[ \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta) \]

où \(\alpha\) est le taux d'apprentissage.

Conclusion

Ces bases mathématiques constituent le socle de nombreuses applications en data science et en machine learning. Une bonne compréhension de ces concepts permet d'analyser et de résoudre efficacement divers problèmes complexes.