Partie 2 : Concepts Avancés

5. Espaces Vectoriels et Transformations Linéaires

Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs avec des opérations d'addition et de multiplication scalaire respectant certaines propriétés.

Une transformation linéaire \(T\) appliquée à un vecteur \(\mathbf{v}\) est définie par :

$$ T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} $$ où \(A\) est une matrice de transformation.

6. Séries de Fourier

Les séries de Fourier permettent de représenter une fonction périodique comme une somme de sinus et cosinus. (Indispensable pour le traitement du signal)

Une fonction \(f(x)\) peut s'exprimer comme :

\[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n x) + b_n \sin(n x) \right) \]

7. Algèbre Tensorielle

Les tenseurs sont une généralisation des vecteurs et matrices. Ils sont largement utilisés dans l'intelligence artificielle, notamment dans les réseaux de neurones. Par exemple, une matrice \(A\) est un tenseur de rang 2, un vecteur \(v\) est un tenseur de rang 1, et un scalaire est un tenseur de rang 0.

Un tenseur \(T\) est une structure multi-dimensionnelle représentée par :

\[ T_{ijk} \text{ avec } i, j, k \text{ indices} \]

8. Équations Différentielles

Les équations différentielles décrivent l'évolution d'un système dynamique.

Une équation différentielle ordinaire (EDO) de premier ordre est donnée par :

\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y) \]

Présentées de cette manière, elles peuvent sembler impressionnantes et complexes. Cependant, il s’agit simplement d’une manière formelle de décrire comment une quantité évolue en fonction d’une autre. En pratique, elles traduisent des phénomènes courants comme le refroidissement d’un café, la chute d’un objet ou la croissance d’une population. Une fois bien comprises, elles deviennent un outil puissant et intuitif pour modéliser le monde qui nous entoure.

Prenons ici un exemple concret et simple d’équation différentielle est la loi du refroidissement de Newton.

Imaginons qu’une tasse de café chaud soit laissée dans une pièce à température ambiante. Son refroidissement peut être modélisé par l’équation différentielle suivante :

où :

• \(T(t)\) est la température du café à l’instant ,
• \(T_{amb}\) est la température ambiante de la pièce,
• \(k\) est une constante positive qui dépend du matériau et des conditions de l’air,
• \(\frac{dT}{dt}\) est la vitesse de refroidissement du café.

Interprétation intuitive :

• Plus la différence \(T(t) - T_{amb}\) est grande, plus le café refroidit rapidement.
• À mesure que \(T\) se rapproche de \(T_{amb}\), la vitesse de refroidissement diminue.
• Ce modèle simple permet de prédire combien de temps il faudra pour que le café atteigne une température agréable à boire.

Pas si compliqué non ?

Conclusion

Cette seconde partie approfondit les concepts mathématiques utilisés dans des domaines avancés comme l'intelligence artificielle, la physique et l'analyse des signaux. La maîtrise de ces notions permet d'aborder des problèmes complexes avec rigueur et efficacité.