Bases Mathématiques pour l'IA

Voici un aperçu des notions essentielles utilisées dans le domaine. C'est ce qu'on utilise 99% du temps.

1. Algèbre Linéaire

L'algèbre linéaire est au cœur des algorithmes d'IA, notamment pour la manipulation des données et l'entraînement des modèles.

1.1 Vecteurs

Un vecteur est une liste ordonnée de nombres.

import numpy as np
v = np.array([1, 2, 3])  # Vecteur 3D
print(v)

1.2 Matrices

Une matrice est une collection bidimensionnelle de nombres.

M = np.array([[1, 2], [3, 4]])  # Matrice 2x2
print(M)

1.3 Opérations

v1 = np.array([1, 2, 3])
v2 = np.array([4, 5, 6])
print(v1 + v2)  # Addition
print(np.dot(v1, v2))  # Produit scalaire

2. Calcul Différentiel

Le calcul différentiel est essentiel pour l'optimisation des modèles d'IA, notamment dans l'entraînement des réseaux de neurones.

2.1 Dérivée

La dérivée mesure le taux de variation d'une fonction.

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
f = x**2
derivative = sp.diff(f, x)
print(derivative)  # Résultat : 2*x

2.2 Gradient

Le gradient est une généralisation de la dérivée pour les fonctions multivariables.

x, y = sp.symbols('x y')
f = x**2 + y**2
grad = [sp.diff(f, var) for var in (x, y)]
print(grad)  # Résultat : [2*x, 2*y]

3. Probabilités et Statistiques

Les modèles d'IA reposent souvent sur des concepts probabilistes.

3.1 Loi des Probabilités

from scipy.stats import norm
mean, std = 0, 1  # Moyenne et écart-type
p = norm.pdf(0, mean, std)  # Densité de probabilité en 0
print(p)

3.2 Espérance et Variance

data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
print(np.mean(data))  # Espérance
print(np.var(data))   # Variance

4. Optimisation et Descente de Gradient

L'optimisation permet d'ajuster les paramètres d'un modèle pour minimiser une fonction de coût.

4.1 Fonction de Coût

def cost_function(x):
    return (x - 3)**2  # Fonction quadratique

4.2 Algorithme de Descente de Gradient

def gradient_descent(lr=0.1, epochs=10):
    x = 0  # Initialisation
    for _ in range(epochs):
        grad = 2 * (x - 3)  # Dérivée de la fonction
        x -= lr * grad  # Mise à jour
        print(x)

gradient_descent()

Conclusion

Ces bases mathématiques sont essentielles pour comprendre et implémenter les modèles d'intelligence artificielle. Une maîtrise de ces concepts facilite l'analyse et l'optimisation des algorithmes d'apprentissage automatique.